複素数平面上の3点 $A(-1+4i)$、$B(3+2i)$、$C(4-3i)$ が与えられたとき、以下の点を表す複素数を求めます。 (1) 線分ABの中点 (2) 線分BCを2:1に外分する点 (3) 三角形ABCの重心

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $A(-1+4i)$、$B(3+2i)$、$C(4-3i)$ が与えられたとき、以下の点を表す複素数を求めます。

(1) 線分ABの中点

(2) 線分BCを2:1に外分する点

(3) 三角形ABCの重心

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの中点

2点$z_1, z_2$を結ぶ線分の中点は $\frac{z_1 + z_2}{2}$ で表されます。よって、線分ABの中点は

$\frac{(-1+4i) + (3+2i)}{2} = \frac{2+6i}{2} = 1+3i$

(2) 線分BCを2:1に外分する点

2点$z_1, z_2$を結ぶ線分を $m:n$ に外分する点は $\frac{mz_2 - nz_1}{m-n}$ で表されます。

線分BCを2:1に外分する点は

$\frac{2(4-3i) - 1(3+2i)}{2-1} = \frac{8-6i - 3 - 2i}{1} = 5-8i$

(3) 三角形ABCの重心

3点$z_1, z_2, z_3$を頂点とする三角形の重心は $\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ で表されます。よって、三角形ABCの重心は

$\frac{(-1+4i) + (3+2i) + (4-3i)}{3} = \frac{6+3i}{3} = 2+i$

3. 最終的な答え

(1) 線分ABの中点： $1+3i$

(2) 線分BCを2:1に外分する点： $5-8i$

(3) 三角形ABCの重心： $2+i$