三角形ABCにおいて、角A=30°、角B=45°、辺b=4のとき、残りの角Cの大きさと残りの辺a, cの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角A=30°、角B=45°、辺b=4のとき、残りの角Cの大きさと残りの辺a, cの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が180°であることから角Cを求める。

$C = 180° - A - B$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

次に、正弦定理を用いて辺aの長さを求める。正弦定理は以下の通り。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{4}{\sin 45°}$

$a = \frac{4 \sin 30°}{\sin 45°}$

$a = \frac{4 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

最後に、再び正弦定理を用いて辺cの長さを求める。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{c}{\sin 105°} = \frac{4}{\sin 45°}$

$c = \frac{4 \sin 105°}{\sin 45°}$

ここで、$\sin 105° = \sin (60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$c = \frac{4 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 2(\sqrt{3} + 1)$

3. 最終的な答え

角C = 105°

辺a = $2\sqrt{2}$

辺c = $2(\sqrt{3} + 1)$