$\theta$ が鈍角で、$\sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{5}{8}$ が成り立つとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{5}{8}$ が成り立つとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^4\theta + \cos^4\theta$ を変形して、$\sin\theta\cos\theta$ を含む式を導出します。

まず、$(\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta$ を考えます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$1 = \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta$

$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$

問題文より $\sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{5}{8}$ なので、

$\frac{5}{8} = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$

$2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{5}{8}$

$2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{3}{8}$

$\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{3}{16}$

$(\sin\theta\cos\theta)^2 = \frac{3}{16}$

$\sin\theta\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{3}{16}}$

$\sin\theta\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、$\sin\theta > 0$, $\cos\theta < 0$ です。

したがって、$\sin\theta\cos\theta < 0$ となるので、

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{4}$