$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ $(90^\circ < \theta < 180^\circ)$のとき、$\sin\theta - \cos\theta$と$\tan\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ $(90^\circ < \theta < 180^\circ)$のとき、$\sin\theta - \cos\theta$と$\tan\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin\theta + \cos\theta)^2$を計算します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$なので、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

したがって、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}$

次に、$(\sin\theta - \cos\theta)^2$を計算します。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}$を代入すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{4}{9}) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin\theta > 0$かつ$\cos\theta < 0$なので、$\sin\theta - \cos\theta > 0$です。

したがって、

$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{\frac{17}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{3}$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$と$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{17}}{3}$を連立させて、$\sin\theta$と$\cos\theta$を求めます。

$\sin\theta = \frac{(\sin\theta + \cos\theta) + (\sin\theta - \cos\theta)}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{17}}{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$

$\cos\theta = \frac{(\sin\theta + \cos\theta) - (\sin\theta - \cos\theta)}{2} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{17}}{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{1 + \sqrt{17}}{6}}{\frac{1 - \sqrt{17}}{6}} = \frac{1 + \sqrt{17}}{1 - \sqrt{17}} = \frac{(1 + \sqrt{17})(1 + \sqrt{17})}{(1 - \sqrt{17})(1 + \sqrt{17})} = \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{1 - 17} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{-16} = \frac{9 + \sqrt{17}}{-8} = -\frac{9 + \sqrt{17}}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{17}}{3}$

$\tan\theta = -\frac{9 + \sqrt{17}}{8}$