平行四辺形ABCDにおいて、BD // EFである。三角形ABEと面積が等しい三角形をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、BD // EFである。三角形ABEと面積が等しい三角形をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

* 平行四辺形の性質を利用します。

* 底辺が共通で高さが等しい三角形は面積が等しいことを利用します。

* BD // EF より、いくつかの三角形の面積が等しくなることを見つけます。

三角形ABEに着目します。

三角形ABEの面積は、底辺をAEと考えると、高さは点Bから直線AEへの距離となります。

BD // EF なので、三角形ABEと三角形ADEは底辺AEを共有し、高さも等しいので、面積が等しくなります。つまり、

$三角形ABE = 三角形ADE$

三角形ABDに着目します。

三角形ABDの面積は、底辺をBDと考えると、高さは点Aから直線BDへの距離となります。

三角形FBDの面積は、底辺をBDと考えると、高さは点Fから直線BDへの距離となります。

平行四辺形ABCDにおいて、三角形ABDと三角形CBDの面積は等しいです。また、対角線BDで分割されたそれぞれの三角形は、平行四辺形全体の面積の半分になります。

三角形ABEと三角形ADEの面積が等しいことは既に示しました。

三角形EBDに着目します。三角形EBDの面積は、$三角形ABD - 三角形ABE$と表すことができます。

同様に、三角形FBDの面積は、$三角形ABD - 三角形ADF$と表すことができます。

三角形EBDと三角形FBDは、底辺BDを共有しているので、もしこの二つの三角形の面積が等しい場合、EとFからBDへの距離は等しくなります。

しかし、EF//BDなので、三角形EBDと三角形FBDの面積は等しくなります。

したがって、$三角形EBD = 三角形FBD$

$三角形ABE = 三角形ADE$であることから、

$三角形ABE$ の面積 ＝ $三角形ABD - 三角形EBD$

$三角形ADE$ の面積 ＝ $三角形ABD - 三角形EBD$

ここで、四角形ABFDは、平行四辺形です。

$三角形ABE = 三角形ADE$ より

$三角形ADE = 三角形ABE$

$三角形DFE$は、底辺EFを共有し、$EF$と$BD$が平行なので、$三角形DFE$と$三角形DBE$の面積は等しい。

$三角形DFE = 三角形DBE$

$三角形ABE$と面積が等しい三角形は、$三角形ADE$、$三角形DBE$、$三角形DFE$です。

3. 最終的な答え

三角形ADE、三角形DBE、三角形DFE