与えられたベクトルの式を、方程式の形で表してください。ベクトルの式は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ です。

## A1.3.2 (1)

1. 問題の内容

与えられたベクトルの式を、方程式の形で表してください。ベクトルの式は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルの式を成分ごとに分けて、以下のように表します。

$x = 2t - 1$

$y = t$

次に、$t$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

$y = t$ より、$x = 2y - 1$

したがって、$x = 2y - 1$ を変形すると、$x - 2y = -1$　となります。

あるいは、$2y = x + 1$ として、$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$としてもよいです。

3. 最終的な答え

$x - 2y = -1$ または $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

## A1.3.2 (2)

1. 問題の内容

与えられたベクトルの式を、方程式の形で表してください。ベクトルの式は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルの式を成分ごとに分けて、以下のように表します。

$x = 3t + 4$

$y = 2t + 1$

次に、$t$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

$2x = 6t + 8$

$3y = 6t + 3$

$2x - 3y = (6t + 8) - (6t + 3) = 5$

したがって、$2x - 3y = 5$　となります。

3. 最終的な答え

$2x - 3y = 5$

## A1.3.2 (3)

1. 問題の内容

点(2,3)を通り、直線 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ と直交する直線の方程式を求めてください。

2. 解き方の手順

与えられた直線は、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を持ちます。求める直線はこれと直交するため、求める直線の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となります。（内積が0になるようにします。）

したがって、求める直線は、点(2,3)を通り、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を持つので、ベクトル方程式は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

となります。

これを成分ごとに分けると、

$x = t + 2$

$y = 2t + 3$

$t = x - 2$ を $y = 2t + 3$ に代入すると、

$y = 2(x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x - 1$

したがって、$y = 2x - 1$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 1$