問題5は、正四面体をある規則に従って3回回転させる問題です。 (1)はその回転の仕方の総数を求め、(2)は3回転後の正四面体の位置の総数を求めます。 問題6は、梨4個、柿2個、桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか求める問題です。ただし、取り出さない果物があってもよいとします。

1. 問題の内容

問題5は、正四面体をある規則に従って3回回転させる問題です。

(1)はその回転の仕方の総数を求め、(2)は3回転後の正四面体の位置の総数を求めます。

問題6は、梨4個、柿2個、桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか求める問題です。ただし、取り出さない果物があってもよいとします。

2. 解き方の手順

問題5(1):

1回目の回転では、底面以外の3つの辺のうちどれを軸にしても良いので3通りあります。

2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにするという条件があるので、1回目に選んだ辺の反対側の辺を軸に回転させるしかありません。したがって、2回目以降は常に1通りです。

よって、回転の仕方の総数は $3 \times 1 \times 1 = 3$ 通りとなります。

問題5(2):

1回目の回転で3通りの位置があり、2回目の回転で1つの位置に決まります。3回目の回転でも位置は1つに決まります。

したがって、3回転後の正四面体の位置の総数は3通りです。

正四面体を回転させると、最初の位置に戻るか、あるいは最初の位置から見て左右反転した位置になるかのいずれかです。回転軸の選び方によって、これらの位置が変わってくるので、3通りとなります。

問題6:

まず、梨、柿、桃の個数をそれぞれ $x, y, z$ とします。

このとき、$x, y, z$ は以下の条件を満たす必要があります。

$x+y+z = 6$

$0 \le x \le 4$

$0 \le y \le 2$

$0 \le z \le 2$

まず、$x, y, z$ に上限がない場合を考えます。

$x+y+z = 6$ の非負整数解の個数は、仕切りを使って考えると $_{6+3-1}C_{3-1} = _8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

次に、$y \ge 3$ となる場合を考えます。$y' = y - 3$ とおくと、$x+y'+z = 3$ となり、この非負整数解の個数は $_{3+3-1}C_{3-1} = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

同様に、$z \ge 3$ となる場合を考えます。$z' = z - 3$ とおくと、$x+y+z' = 3$ となり、この非負整数解の個数は $_{3+3-1}C_{3-1} = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

$x \ge 5$となる場合、$x' = x-5$とおくと、$x' + y + z = 1$となり、非負整数解の個数は$_{1+3-1}C_{3-1} = _3C_2 = 3$通りです。

したがって、求める場合の数は、$28 - 10 - 10 + 0 = 8$通り。

実際には、$x+y+z = 6$であり、$x \le 4, y \le 2, z \le 2$を満たすものを探せば良いので、以下のようになります。

(2,2,2), (3,2,1), (3,1,2), (4,2,0), (4,0,2), (4,1,1), (3,3,0) -> ダメ, (3,0,3) -> ダメ

(4,0,2), (4,1,1), (4,2,0)

(3,2,1), (3,1,2)

(2,2,2)

(2,1,3) -> ダメ, (2,3,1) -> ダメ

実際に当てはまる組み合わせは(4,2,0),(4,1,1),(4,0,2),(3,2,1),(3,1,2),(2,2,2),(2,0,4) -> ダメ, (2,4,0) -> ダメ, (0,2,4) -> ダメ, (0,4,2) -> ダメ, (0,0,6) -> ダメ.

$x+y+z = 6, 0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 2$

条件を満たすのは、(2,2,2), (3,2,1), (3,1,2), (4,2,0), (4,1,1), (4,0,2)の6通り。

3. 最終的な答え

問題5(1): 3通り

問題5(2): 3通り

問題6: 6通り