三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OIとR, rの関係を求める問題です。図形に関する角度、辺の比の関係や方べきの定理を利用して空欄を埋めていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OIとR, rの関係を求める問題です。図形に関する角度、辺の比の関係や方べきの定理を利用して空欄を埋めていきます。

2. 解き方の手順

* **ア**について

$\angle HAI = \angle BAI$

したがって、選択肢から $\angle BAI$ を選びます。

* **イ**について

$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は相似であるから、

$ED:AI = BD:AH = BE:AI$

したがって、$ED:AI=BD:AI = DE :AI=BD$ は間違いなので、$DE:AI$ はありえない。

$\angle EBD=90^\circ$は間違いなので、$DE:AI=AI:HI$はありえない。

与えられた条件より $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ が相似であることから、$ED:AI = BD:AH$ が成り立つはずです。よって、$ED:AI$と$BD:AH$、または$DE:AI=AH:HI$となる必要がある。

$\triangle AHI \sim \triangle EBD$

$AHI$と$\angle EBD$の順番が対応しているので、$AI$に対応するのは$BD$となり、$AH$と対応するのが$ED$となる。

よって、$ED:AI = AI:IH$より、$AI$に対応するものは$IH$です。

したがって、$ED:AI=AI:HI$ となるから、$AI:IH$となります。

* **ウ**について

$AI \cdot ID = \frac{r}{\sin(A/2)} \cdot 2R \cos A$

$AH = \frac{r}{\tan(A/2)}, AI = \frac{r}{\sin(A/2)}$

$AI=\frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}}$, $AH = \frac{r}{\tan(\frac{A}{2})}$

$\frac{AH}{AI}=\cos(\frac{A}{2})$

$\triangle AHI$において、$AI=\frac{r}{\sin(A/2)}$より、$AI$に対応するものは$BD$なので、$BD$の値がわかれば、$AI = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$の値が求められる。

$\triangle DBI$が二等辺三角形になるので、$AI=BI=DI$となるので、

$\angle DBC = \angle DAC$ であるから、

$AI=\frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$

$AI \cdot ID = (\frac{r}{\sin(\frac{A}{2})})^2$

$AI = DI =BD$となる。

$BI=BD$より、$AI = BD$

$\angle DIB=\angle IBI$

$\angle DBC=\angle IAC$

$\angle BIC=90^\circ+\frac{A}{2}$

$DI = BD$

$\angle CAD = \angle CBD$ より、$DI = BI$ となるので、

したがって、$AI = BD =2R \cdot \cos(A/2)$だから、

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin{A}}=2R$

$BI = BD$

$AI = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$なので、$AI$は$BD$ということがわかる。

$AI:r = R:BD$

$AI = BI = BD$

正弦定理より$\frac{BC}{\sin A} = 2R$,

$BC=2R \sin A$

$\angle CAD = \angle CBD$より、$DI = BI$となるので、

したがって、$AI = BD = DI$となるから、$AI:r = R:BD$を考える。

$AI=DI=BD$となり、$\angle DIB = \angle DBI$

$\angle DBI= \angle CBI+\angle CBD$,$\angle DIB= \angle CBI+ \angle ABI$

$\angle ABI= \angle CBD$

答えは$AI = BD$

$BI = BD =DI$

$\angle CAD= \angle CBD$

したがって、$AI = BD=2R$

* **エ**について

$\angle DIB = \angle GAC+\angle ABI$

* **オ**について

$\angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle DIB = \angle DBI$となる。

* **カ**について

$\triangle DIB$は二等辺三角形だから、$BD = DI$

* **キ**について

方べきの定理より、$AI \cdot ID = (FO + OI)(GO - OI)$

したがって、$ID$

* **ク**について

$OI^2=R^2-2rR$

$AI \cdot ID = (FO+OI)(GO-OI)=R^2-OI^2$

$AI \cdot ID = 2Rr$

①.②.③から $OI^2=R^2-2rR$ が成り立つ。したがって、$2rR$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 0

ウ: 2

エ: 5

オ: 3

カ: 2

キ: 5

ク: 3