三角形 ABC の外心を O、内心を I とし、外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。O と I が一致しない場合に、R, r と OI の関係を調べる問題です。図と問題文中の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

三角形 ABC の外心を O、内心を I とし、外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。O と I が一致しない場合に、R, r と OI の関係を調べる問題です。図と問題文中の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\angle HAI$ に等しい角を探します。$\angle HAI$ は $\angle BAI - \angle BAH$ と表せます。ここで $\angle BAI = \angle CBI$ (解答群 0, 1, 2, 3, 4, 5 から選びます)。$\angle BAH = \angle OAC = 90^\circ - \angle ABC = \angle CBE$ なので、$\angle HAI = \angle CBI - \angle CBE = \angle EBD$ となります。したがって、アには 3(DBI)が入ります。

次に、$ED: AI = OI: HI$ が成り立つことを確認します。 $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は相似であり、$ED/AI = BD/AH$ となるはずなので、$BD/AH = OI/HI$ が成り立つか確認する必要があります。これは問題文から読み取れません。

問題文より、$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は $\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$ であることより相似であると述べられています。相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、$ED: AI = BD: AH = EB: AI = HI: AI$ は不適切です。$AI: HI = DE : BE$ も言えません。この問題は$AHI$ と $\triangle EBD$ は相似であるとだけ分かっているので、$ED: AI = BD:AH= BE:AI$とは言えません。$AHI$と$\triangle EBD$は相似であることより、$AH/EB=HI/DB=AI/ED$が成り立ちます。したがって、$ED:AI = BD:AH =HI/AI$は不適切です。問題文より、$ED : AI= BD:AH=BE: AI$とは言えません。問題文から$ED : AI = HI:AI$は読み取れませんので、$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$の相似比が重要になります。解答群から、$ED : AI = DE: BC = HI:AI$ではないことがわかります。

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$ となります。したがって、エには 5(GAC)が入ります。また、$\angle CAD = \angle CBD$ であるから、$\angle DIB = \angle ABI + \angle CAD = \angle CBI + \angle CAD = \angle DBI$ となります。したがって、オには 3(DBI)が入ります。

$\triangle DBI$ において、$\angle DIB = \angle DBI$ であるから、$\triangle DBI$ は二等辺三角形であり、$BD = ID$ となります。したがって、イには 2(BD)が入ります。

さらに、方べきの定理により、$AI \cdot DE = (FO+OI)(GO-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2$ が成り立ちます。したがって、カには 3(DE)が入り、キには 5(OI)が入ります。

(1),(2),(3) から $OI^2 = R^2 - 2Rr$ が成り立つ。したがって、クには 3($2rR$)が入ります。

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2

エ：5

オ：3

カ：3

キ：5

ク：3