三角形ABCの外心をO、内心をI、外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。OとIが一致しないとき、R、rとOIの関係を調べる。問題文中の空欄（ア～ク）に当てはまるものを解答群から選択し、ウに当てはまる数値を解答する。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をO、内心をI、外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。OとIが一致しないとき、R、rとOIの関係を調べる。問題文中の空欄（ア～ク）に当てはまるものを解答群から選択し、ウに当てはまる数値を解答する。

2. 解き方の手順

(ア)

$\angle HAI$ と等しい角を探す。図より、$\angle HAI = \angle BAI$である。

(イ)

$\triangle AHI \sim \triangle EBD$ であり、対応する辺の比は等しいので、$\frac{ED}{AI} = \frac{BD}{AH} = \frac{BE}{IH}$である。したがって、$\frac{ED}{AI} = \frac{BD}{AH}$より、$ED:AI = BD:AH$である。また、$\triangle AHI$と$\triangle EBD$の相似比より、$ED:AI = 2R:r$ではないので、$\frac{ED}{AI} = \frac{2R}{r}$は誤り。

(ウ)

$AI= \frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}}$ であり、$AI \cdot \frac{r}{IH} = 2R$なので、$AI=\frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}} = \sqrt{2}r$

(エ)

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$

(オ)

$\angle CAD = \angle CBD$ であり、$\angle ABI = \angle CBI$だから、$\angle DIB = \angle CBI + \angle CBD = \angle DBI$

(カ)

$\triangle DBI$は$DB=DI$の二等辺三角形となる。したがって、$AI \cdot DI = (FO + OI)(GO - OI)$

(キ)

方べきの定理より、$AI \cdot DI = (FO+OI)(GO-OI)=R^2-OI^2$。ここで、$FO=R$、$GO=R$だから、$AI\cdot DI = (R+OI)(R-OI) = R^2-OI^2$

$AI\cdot BD$なので、$AI\cdot DI = (FO+OI)(GO-OI) = (R+OI)(R-OI)$。

$AI\cdot DI$

(ク)

オイラーの定理より、$OI^2 = R^2 - 2Rr$

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ②

ウ: 2

エ: ①

オ: ③

カ: ②

キ: ⑤

ク: ③