三角形 ABC の外心 O、内心 I、外接円の半径 R、内接円の半径 r が与えられている。O と I が一致しない場合に、R, r と OI の関係を調べる問題である。空欄アからクに当てはまるものを選択肢から選び、ウに当てはまる数を答える。

1. 問題の内容

三角形 ABC の外心 O、内心 I、外接円の半径 R、内接円の半径 r が与えられている。O と I が一致しない場合に、R, r と OI の関係を調べる問題である。空欄アからクに当てはまるものを選択肢から選び、ウに当てはまる数を答える。

2. 解き方の手順

まず、$\angle HAI = \angle BAI$ であるから、アには選択肢0の$\angle BAI$が入る。

次に、$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は相似であるから、$ED:AI = BD:HI$ となる。よって、イには選択肢2の$BD$が入る。

$AI = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$ である。また、外接円の半径Rとの関係から、$AI = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{r}{\frac{a}{2R}} = \frac{2Rr}{a}$ となるが、問題文の指示より、$\triangle AHI$と$\triangle EBD$の相似より、$ED:AI = BD:HI$なので、$AI:r$の形になっている。$\angle HAI = \angle BAI$である。

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$、$\angle DBI = \angle CBD + \angle CBI$。$\angle DAI = \angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle DIB = \angle ABI + \angle CBI = \angle ABI + \angle CBI = \angle IBD$となる。したがって、エには選択肢0の$\angle GAC$が、オには選択肢0の$\angle ABI$が入る。

$\triangle DBI$ は二等辺三角形となり、$BD=DI$ となるので、カには選択肢2の$BD$が入る。

方べきの定理より、$AI \cdot ID = (FO + OI)(GO - OI) = R^2 - OI^2$ が成り立つ。よって、キには選択肢5の$OI$が入る。

(1),(2),(3)から、$OI^2 = R^2 - 2Rr$ が成り立つ。よって、クには選択肢3の$2Rr$が入る。

3. 最終的な答え

ア：BAI

イ：BD

ウ：2

エ：GAC

オ：ABI

カ：BD

キ：OI

ク：2rR