三角形 ABC の外心を O、内心を I、外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。O と I が一致しない場合に、R、r と OI の関係を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形 ABC の外心を O、内心を I、外接円の半径を R、内接円の半径を r とする。O と I が一致しない場合に、R、r と OI の関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) △AHI と △EBD について、∠HAI = ∠BAD = ∠BED であるから、アには③のBAIが入ります。また、ZAHI = ZEBD = 90°であるから、△AHI ∽ △EBD となります。よって、ED:AI = BD:HI が成り立ちます。

AI・BD = ウR となるようにウを求めます。角の二等分線の性質より、BD = ID です。

∠DIB = ∠DBC + ∠BCI = ∠CAD + ∠ABI = ∠CBD + ∠CBI = ∠DBI。したがって、△DBI は二等辺三角形となり、BD = DI = BI。∠BAI = ∠CAI = ∠EBD, ∠ABI = ∠EBI = ∠EBD なので、四角形 ABEIは円に内接する。AIの延長と外接円との交点をDとするので、BD = DI となります。したがって AI * BD = AI * BI 。ここで正弦定理により $BI/sin(∠BAI)=2R$。なので$BI = 2Rsin(∠BAI)$ 。AI * BI = 2R * AI * sin(∠BAI) = 2R * HI となり、AI * BD = $2rR$が成り立つのでウには2が入ります。

(2) 次に△DBIにおいて、∠DIB = ∠IBC + ∠ABI, ∠DBI = ∠CBD + ∠CBI, ∠ABI = ∠CBI, ∠CAD = ∠CBDであるから、∠DIB = ∠DBI。

したがって△DBIは二等辺三角形となりイにはBD = ID が入ります。

(3) 方べきの定理より、AI * ID = (FO + OI) * (GO - OI) = (R + OI)(R - OI) = $R^2 - OI^2$ となります。

ここで、ID = BD なのでAI * BD = $R^2 - OI^2$。よってAI * BD = $R^2 - OI^2$ = 2rR

したがってOI² = $R^2 - 2rR$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

ア：②

イ：②

ウ：2

エ：④

オ：③

カ：②

キ：⑤

ク：③