三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rがあるとき、OとIが一致しない場合に、RとOIの関係を調べる問題です。空欄アからクに適切な選択肢を選ぶか、値を答えます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rがあるとき、OとIが一致しない場合に、RとOIの関係を調べる問題です。空欄アからクに適切な選択肢を選ぶか、値を答えます。

2. 解き方の手順

ア：

$\angle HAI$ と $\angle BED$ に等しい角を選ぶ。

$AI$は$\angle BAC$の二等分線の一部であるから、$\angle HAI = \frac{1}{2}\angle BAC$。

円周角の定理より、$\angle BED = \angle BAD = \angle BAC$。よって、$\angle BED = \frac{1}{2} \angle BAC$となる角を探す。

$\angle BED = \frac{1}{2}\angle BAC= \frac{1}{2} \angle BCI = \angle BAI$

イ：

$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ が相似であるから、対応する辺の比が等しい。

$ED : AI = BD:AI = 2R:AI$ のようになる。

$HI=r$であるから、$ED:AI = BD : AI$ となると考え、$ED:AI=AI: HI$ より、

$ED : AI = \frac{AI}{r}$.

ウ：

$AI$ は内接円と接する線であり、内接円の半径rと関係する。

$AI \cdot \frac{AI}{r} = 2R$となり、$AI^2 = 2Rr$なので、$AI = \sqrt{2Rr}$と変形できる。

よって、$AI=r\cdot rR$ではないので、選択肢を確認すると、 $AI=\frac{\sqrt{2Rr}}{r}\sqrt{r}=\sqrt{2r}$であるので、$AI = BD : AI$ となると考え、$ED:AI=AI: HI$ より、$AI = \sqrt{2Rr}$であるから、 $ED:AI = \frac{\sqrt{2Rr}}{r} = BD:AI$

エ：

$\angle CAD = \angle CBD = \angle CBI$ であるから、$\angle ABI$と等しい角を探す。

内角の二等分線の性質より、$\angle ABI = \angle CBI$ であるから、$\angle CAD$ である。

オ：

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI = \angle CAD + \angle CBI = \angle CBD + \angle CBI = \angle DBI$

$\angle DBI = \angle DIB$ であるから、$\triangle DBI$は二等辺三角形であり、$BD = DI$

カ：

方べきの定理より、$AI \cdot ID = FI \cdot IG$

$AI \cdot BD = (FO+OI)(OG-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2$

$AI \cdot DI = R^2 - OI^2$

キ：

方べきの定理より、$AI \cdot ID = FI \cdot IG$

$AI \cdot ID = (FO+OI)(OG-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2$

ク：

①、②、③から$OI^2 = R^2 - 2Rr$

アの答え：2

イの答え：0

エの答え：5

オの答え：3

カの答え：0

キの答え：5

クの答え：3

3. 最終的な答え

ア：BAI

イ：AI

エ：GAC

オ：DBI

カ：AI

キ：OI

ウ：2

ク：2Rr