三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられている。OとIが一致しない場合にR, rとOIの関係を調べる。問題文中の空欄ア、イ、エ、オ、カ、キ、クに適切な選択肢を解答群から選んで答える。また、空欄ウに当てはまる数を答える。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられている。OとIが一致しない場合にR, rとOIの関係を調べる。問題文中の空欄ア、イ、エ、オ、カ、キ、クに適切な選択肢を解答群から選んで答える。また、空欄ウに当てはまる数を答える。

2. 解き方の手順

* $\angle{HAI} = \angle{BAI} = \angle{EBD}$ なので、ア = 2。

* $\triangle{AHI}$ と $\triangle{EBD}$ は相似であり、対応する辺の比は等しいので、 $ED:AI = BD:AH$ 。また、 $\angle{BAI} = \angle{CAI}$ より $BD = CD$ であることを考慮すると、$ED:AI=BD:AI$。 よって、$ED:AI = BD:AH$より $AI:BD=AH:ED$ が成り立つ.

$AI \cdot DE = BD \cdot AH$ より$AI = \frac{BD\cdot AH}{DE}$.

この式に当てはまるものはないため、$ED:AI = \frac{BD}{AH} = \frac{AH}{ID}$ではない. よって、$ED:AI=OI:AI$. したがって$ED:AI=OI:AI$ より $ED \cdot AI = \frac{OI\cdot AH}{\frac{BD\cdot AH}{DE}} = HI$

よって、$ED:AI=AI:HI$. したがって、イ = 0

* $\angle{DIB} = \angle{DAI} + \angle{ABI}$。$\angle{DAI} = \angle{CAI} = \angle{CAD} = \angle{CBD}$ であり、$\angle{ABI} = \angle{CBI}$ であるから、$\angle{DIB} = \angle{CBD} + \angle{CBI} = \angle{DBI}$。よって、エ = 5。また、オ = 3。

$\angle{DIB} = \angle{DBI}$ より、$\triangle{DBI}$ は二等辺三角形であり、 $DB = DI$。よって、イ = 2。

* 方べきの定理より、$AI \cdot ID = (R+OI)(R-OI)=R^2 - OI^2$。$AI \cdot DI = AI \cdot (FO + OG)$。

$AI \cdot DI = AI \cdot DI = (FO + OI)(GO - OI)$

なので $AI = OI,ID = OI$。$AI(FO +OI) (GO-OI) = R^2 - OI^2$ より $AI = OI$. よって、カ = 5。

$AI\cdot OI = (FO + OI)(GO - OI) = (R + OI)(R - OI) = R^2 - OI^2$ なので、$OI = OI$ よってキ = 5。

* (1), (2), (3) より、$OI^2 = R^2 - 2Rr$ が成り立つ。よって、ク = 4。

オイラーの定理より $OI^2 = R^2 - 2Rr$。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 0

エ = 5

オ = 3

カ = 5

キ = 5

ク = 4

ウ = 2