三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合におけるR, rとOIの関係を調べる問題です。特に、図形の性質を利用して、空欄を埋めていく形式です。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合におけるR, rとOIの関係を調べる問題です。特に、図形の性質を利用して、空欄を埋めていく形式です。

2. 解き方の手順

順に空欄を埋めていきます。

* ∠HAI = ∠BAI であるから、アの解答は②。

* $\triangle AHI$と$\triangle EBD$が相似であることから、ED: AI = BD : HIが成り立つ。よって、イの解答は②。

* AI = BD である。BD = ウRより、ウは2。

* $\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$であり、エの解答は①。

* $\angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle DIB = \angle DBI$となり、オの解答は③。

* $\triangle DBI$は二等辺三角形となり、BD = ID。よって、カの解答は②。

* 方べきの定理より、$AI \cdot ID = (FO+OI)(GO-OI) = R^2 - OI^2$となる。よって、キの解答は⑤。

* (1), (2), (3)より、$OI^2 = R^2 - 2Rr$となる。よって、クの解答は④。

3. 最終的な答え

ア：②

イ：②

ウ：2

エ：①

オ：③

カ：②

キ：⑤

ク：④