$\triangle ABC$ があり、$AB=9, BC=12, CA=15$ である。$\triangle ABC$ の外接円を $O$ とする。辺 $BC$ 上に点 $P$ をとり、線分 $AP$ の延長と円 $O$ との交点を $Q$ とし、$Q$ における円 $O$ の接線と辺 $AB$ の延長との交点を $R$ とする。 (1) 円 $O$ の直径を求めよ。 (2) $BR=6$ のとき、線分 $QR$ の長さを求めよ。 (3) $BP=9$ のとき、線分 $PQ$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ があり、$AB=9, BC=12, CA=15$ である。$\triangle ABC$ の外接円を $O$ とする。辺 $BC$ 上に点 $P$ をとり、線分 $AP$ の延長と円 $O$ との交点を $Q$ とし、$Q$ における円 $O$ の接線と辺 $AB$ の延長との交点を $R$ とする。

(1) 円 $O$ の直径を求めよ。

(2) $BR=6$ のとき、線分 $QR$ の長さを求めよ。

(3) $BP=9$ のとき、線分 $PQ$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $O$ の直径を求める。

$AB=9, BC=12, CA=15$ より、$AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 = CA^2$ であるから、$\triangle ABC$ は $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形である。

したがって、円 $O$ の直径は $CA$ に等しい。

(2) $BR=6$ のとき、線分 $QR$ の長さを求める。

方べきの定理より、$RQ^2 = RB \cdot RA = RB \cdot (RB + BA) = 6 \cdot (6 + 9) = 6 \cdot 15 = 90$ であるから、$RQ = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

(3) $BP=9$ のとき、線分 $PQ$ の長さを求める。

$RQ$ は円 $O$ の接線であるから、$\angle RQB = \angle RAB = \angle QAB$

$\triangle RQB$ と $\triangle RAB$ において、$\angle R$ は共通であるから、$\triangle RQB \sim \triangle RAB$

よって、$RA : RQ = RQ : RB$ より、$RQ^2 = RA \cdot RB$ となる。

また、$\triangle PQA$ と $\triangle PBC$ について、$\angle P$ は共通であり、$\angle PQA = \angle PCB$ （円周角）なので $\triangle PQA \sim \triangle PCB$

よって、$PA : PC = PQ : PB$ となるから、$PA \cdot PB = PQ \cdot PC$

(1)より$\triangle ABC$は直角三角形なので円Oの半径は$\frac{15}{2}$なので外接円の半径R=$\frac{15}{2}$

正弦定理より$\frac{AC}{sinB}=2R$, $\frac{15}{1}=2R$となるのでR=$\frac{15}{2}$.

方べきの定理より、$BP \cdot BC = BQ \cdot BA$ が成り立つ。

$BP=9, BC=12, BA = 9, BQ=BR+RA-RQ-QR=6+9 = 15.$

$BP \cdot PC = PQ \cdot QA$

$BP=9$のとき、$PC=BC-BP=12-9=3$

$PQ \cdot QA = BP \cdot PC = 9 \cdot 3 = 27$

さらに方べきの定理より、$BP \cdot BC = BA \cdot BR$

3. 最終的な答え

(1) 円 $O$ の直径: 15

(2) $QR$ の長さ: $3\sqrt{10}$

(3) $PQ$ の長さ: 4