一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取った多面体について、面の数、辺の数、頂点の数、体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体の8つの角を、各辺の中点を通る平面で切り取った多面体について、面の数、辺の数、頂点の数、体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 面の数：

元の立方体の面は6つです。各頂点を切り取ると、正三角形の面が8つできます。したがって、面の数は $6 + 8 = 14$ 個です。

(2) 頂点の数：

元の立方体の頂点は8つです。各頂点を切り取ると、3つの頂点ができます。したがって、頂点の数は $8 \times 3 = 24$ 個です。

(3) 辺の数：

元の立方体の辺は12本です。各頂点を切り取ると、3本の辺が増えます。したがって、辺の数は $12 + (8 \times 3 / 2) = 12 + 12 = 36$ 本です。

あるいは、オイラーの多面体定理 $V - E + F = 2$ を用いると、$24 - E + 14 = 2$ から $E = 36$ が得られます。

(4) 体積：

元の立方体の体積は $2^3 = 8$ です。各頂点を切り取ると、一辺が1の正四面体が8つ切り取られます。

この正四面体の体積は、底面積が $1 \times 1 / 2 = 1/2$、高さが $\sqrt{2}/2$、となるので、$(1/2) \times (\sqrt{2}/2) \times (1/3) = \sqrt{2}/12$ となります。

正四面体の頂点までの距離は $\sqrt{2}/2$となります。

一辺1の正三角形の面積は $\sqrt{3}/4$となります。

体積は高さが $1/\sqrt{2}$の一辺1の正四面体なので、 $(\sqrt{3}/4) \times (1/\sqrt{2}) \times (1/3) = \sqrt{6}/24$です。

正四面体の体積は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1 = 1/6$ではありません。切り取られるのは、一辺1の正三角形を底面とする三角錐で、高さが1です。三角錐の体積は $(\frac{1}{2} \times 1 \times 1 ) \times 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ です。

8つの角を切り取ると $8 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$だけ体積が減ります。したがって、求める多面体の体積は $8 - \frac{4}{3} = \frac{24-4}{3} = \frac{20}{3}$です。

3. 最終的な答え

ア：14

ウ：36

エ：24

オ：20/3