三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いる。三角形ABCにおいて、AN, CM, BPが一点Oで交わるので、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

したがって、$AP:PC = 3:4$

次に、メネラウスの定理を用いる。三角形ACNにおいて、直線BPが辺を横切るので、

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{NO}{OA} = \frac{4}{5}$

したがって、$AO:ON = 5:4$

次に、面積比を考える。

$\triangle AOP = 1$

$\triangle AON = \frac{AO}{AN} \triangle ACN = \frac{5}{9} \triangle ACN$

$\triangle ACN = \frac{ACN}{ABC} \triangle ABC = \frac{AN}{AC} \frac{2}{5} S$

$\triangle AON = \frac{AO}{AN} \triangle ACN = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{2}{9} S$

$\triangle AOP = \frac{AP}{AC} \triangle AOC = \frac{3}{7} \triangle AOC$

$\triangle AOC = \frac{OC}{MC} \triangle AMC$

$\triangle AMC = \frac{AM}{AB} \triangle ABC = \frac{1}{3} S$

$\triangle ACO = \frac{AO}{AN}\frac{AN}{AC}\frac{AC}{AC}\triangle ANC$. $\triangle ANC = \frac{NC}{BC}\triangle ABC$ and $NC/BC = 2/5$ and so $\triangle ANC = 2S/5$

Then $\triangle ACO = \frac{5}{9}\cdot \frac{2}{5}S = 2S/9$

Then $\triangle APO = \frac{AP}{AC}\triangle ACO$ and $AP/AC = 3/7$. Then $\triangle APO = \frac{3}{7}\frac{2}{9}S = \frac{2}{21}S = 1$ and so $S = 21/2$

チェバの定理から、

$\frac{AP}{PC} = \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC}= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$なので、$AP:PC=3:4$

メネラウスの定理から、

$\frac{AO}{ON} = \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BN} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{4}$なので、$AO:ON=5:4$

$\triangle AOP : \triangle COP = AP:PC = 3:4$なので、$\triangle COP = \frac{4}{3}$

$\triangle AOC = \triangle AOP + \triangle COP = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$

$\triangle AOC : \triangle BOC = AO:ON = 5:4$, $\triangle CON = \frac{4}{5}\triangle AOC = \frac{4}{5} \frac{7}{3} = \frac{28}{15}$

$\triangle BOC = S - (\triangle AOP + \triangle COP + \triangle CON) = S - (1 + \frac{4}{3} + \frac{28}{15}) = \frac{56}{15}

$\frac{BM}{MA}\frac{AO}{ON} \frac{NC}{CB}=1$ 従って、$5/6$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{2}$