3直線 $x+3y=2$, $x+y=0$, $ax-2y=-4$ が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める問題です。

## 問題180

1. 問題の内容

3直線 $x+3y=2$, $x+y=0$, $ax-2y=-4$ が三角形を作らないような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3直線が三角形を作らないのは、以下の3つの場合が考えられます。

- 3直線が平行

- 2直線が平行で、残りの1直線がそれらに平行でない

- 3直線が1点で交わる

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。

$x+3y=2$ より $3y=-x+2$ なので $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$。傾きは $-\frac{1}{3}$ です。

$x+y=0$ より $y=-x$。傾きは $-1$ です。

$ax-2y=-4$ より $2y=ax+4$ なので $y = \frac{a}{2}x + 2$。傾きは $\frac{a}{2}$ です。

(1) 3直線の中に平行なものが含まれる場合

- $x+3y=2$ と $x+y=0$ は平行でないため、他の直線と平行になる場合を考える。

- $x+3y=2$ と $ax-2y=-4$ が平行のとき、$-\frac{1}{3} = \frac{a}{2}$ より $a = -\frac{2}{3}$

- $x+y=0$ と $ax-2y=-4$ が平行のとき、$-1 = \frac{a}{2}$ より $a = -2$

(2) 3直線が1点で交わる場合

- $x+3y=2$ と $x+y=0$ の交点を求める。

$x+3y=2$ と $x+y=0$ より $x=-y$ を $x+3y=2$ に代入して $-y+3y=2$ つまり $2y=2$ なので $y=1$。

$x=-y$ なので $x=-1$。交点は $(-1, 1)$ です。

- この交点 $(-1, 1)$ が $ax-2y=-4$ 上にあるとき、

$a(-1) - 2(1) = -4$ より $-a-2=-4$ なので $-a=-2$ つまり $a=2$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}, -2, 2$

## 問題181

1. 問題の内容

2直線 $x-y+1=0$, $3x+2y-12=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求める。

(1) 直線 $5x-6y-8=0$ に平行である。

(2) 直線 $5x-6y-8=0$ に垂直である。

2. 解き方の手順

まず、2直線 $x-y+1=0$ と $3x+2y-12=0$ の交点を求める。

$x-y+1=0$ より $x=y-1$。これを $3x+2y-12=0$ に代入して、

$3(y-1)+2y-12=0$

$3y-3+2y-12=0$

$5y=15$

$y=3$

$x=y-1=3-1=2$

交点は $(2,3)$。

(1) 直線 $5x-6y-8=0$ に平行な直線の方程式を求める。

$5x-6y-8=0$ より $6y = 5x-8$ なので $y = \frac{5}{6}x - \frac{4}{3}$。傾きは $\frac{5}{6}$。

交点 $(2,3)$ を通り、傾き $\frac{5}{6}$ の直線の方程式は、

$y-3 = \frac{5}{6}(x-2)$

$6(y-3) = 5(x-2)$

$6y-18 = 5x-10$

$5x-6y+8=0$

(2) 直線 $5x-6y-8=0$ に垂直な直線の方程式を求める。

$5x-6y-8=0$ の傾きは $\frac{5}{6}$ なので、これに垂直な直線の傾きは $-\frac{6}{5}$。

交点 $(2,3)$ を通り、傾き $-\frac{6}{5}$ の直線の方程式は、

$y-3 = -\frac{6}{5}(x-2)$

$5(y-3) = -6(x-2)$

$5y-15 = -6x+12$

$6x+5y-27=0$

3. 最終的な答え

(1) $5x-6y+8=0$

(2) $6x+5y-27=0$