$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を二乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{3}{4}$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用すると、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$