複素数平面上の3点O(0), A(3+2i), B(6-i), C(x+6i)に関して、以下の問いに答える。 (1) 3点O, A, Cが一直線上にあるように、実数xの値を定める。 (2) 2直線AB, ACが垂直に交わるように、実数xの値を定める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点O(0), A(3+2i), B(6-i), C(x+6i)に関して、以下の問いに答える。

(1) 3点O, A, Cが一直線上にあるように、実数xの値を定める。

(2) 2直線AB, ACが垂直に交わるように、実数xの値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 3点O, A, Cが一直線上にある条件は、$\frac{z_C - z_O}{z_A - z_O}$が実数となることである。ここで、$z_O=0$, $z_A=3+2i$, $z_C=x+6i$なので、

$\frac{x+6i}{3+2i}$が実数となる。

$\frac{x+6i}{3+2i} = \frac{(x+6i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{3x + 12 + i(18 - 2x)}{9+4} = \frac{3x+12}{13} + i\frac{18-2x}{13}$

これが実数となるためには、虚部が0となれば良いので、

$18 - 2x = 0$

$2x = 18$

$x = 9$

(2) 2直線AB, ACが垂直に交わる条件は、$\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$が純虚数となることである。

ここで、$z_A=3+2i$, $z_B=6-i$, $z_C=x+6i$なので、

$\frac{x+6i - (3+2i)}{6-i - (3+2i)} = \frac{x-3 + 4i}{3-3i}$が純虚数となる。

$\frac{x-3 + 4i}{3-3i} = \frac{(x-3+4i)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)} = \frac{3(x-3) - 12 + i(3(x-3) + 12)}{9+9} = \frac{3x-21}{18} + i\frac{3x+3}{18} = \frac{x-7}{6} + i\frac{x+1}{6}$

これが純虚数となるためには、実部が0となれば良いので、

$\frac{x-7}{6} = 0$

$x = 7$

3. 最終的な答え

(1) $x = 9$

(2) $x = 7$