直線 $y = 2x - 1$ が与えられた行列によって変換された図形を求める。ここでは、(1) の行列に対する解法を示す。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ が与えられた行列によって変換された図形を求める。ここでは、(1) の行列に対する解法を示す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ による変換を考える。

変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とすると、以下の関係が成り立つ。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

これから $x', y'$ を $x, y$ で表すと、

$x' = 2x + y$

$y' = x + y$

この連立方程式を $x, y$ について解く。

$x = x' - y'$

$y = y' - x + x = x' - (x' - y') = -x' + 2y'$

変換前の直線の方程式 $y = 2x - 1$ に、上記で求めた $x, y$ を代入する。

$-x' + 2y' = 2(x' - y') - 1$

$-x' + 2y' = 2x' - 2y' - 1$

$4y' = 3x' - 1$

$y' = \frac{3}{4}x' - \frac{1}{4}$

よって、変換後の図形は直線 $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$