直線 $y = 2x - 1$ を与えられた行列によって変換された図形を求める問題です。ここでは、(1)から(4)の行列について、変換後の直線を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ を与えられた行列によって変換された図形を求める問題です。ここでは、(1)から(4)の行列について、変換後の直線を求めます。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とします。与えられた行列を $A$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

これから $x$ と $y$ を $x'$ と $y'$ で表し、$y = 2x - 1$ に代入することで、変換後の直線の方程式を得ます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 2x + y$ かつ $y' = x + y$。これから、$x = y' - y$ を $x'$ の式に代入して、$x' = 2(y' - y) + y = 2y' - y$。したがって、$y = 2y' - x'$。これを $y' = x + y$ に代入して、$y' = x + 2y' - x'$。これにより、$x = y' - (2y' - x') = x' - y'$。

$y = 2x - 1$ に $x = x' - y'$ と $y = 2y' - x'$ を代入すると、$2y' - x' = 2(x' - y') - 1$。整理すると、$2y' - x' = 2x' - 2y' - 1$、つまり、$4y' = 3x' - 1$。よって、$y' = \frac{3}{4}x' - \frac{1}{4}$。

(2) $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 3x + 2y$ かつ $y' = 2x + y$。これから、$y = y' - 2x$ を $x'$ の式に代入して、$x' = 3x + 2(y' - 2x) = 3x + 2y' - 4x = 2y' - x$。したがって、$x = 2y' - x'$。これを $y' = 2x + y$ に代入して、$y' = 2(2y' - x') + y$。これにより、$y = y' - 4y' + 2x' = 2x' - 3y'$。

$y = 2x - 1$ に $x = 2y' - x'$ と $y = 2x' - 3y'$ を代入すると、$2x' - 3y' = 2(2y' - x') - 1$。整理すると、$2x' - 3y' = 4y' - 2x' - 1$、つまり、$4x' = 7y' - 1$。よって、$y' = \frac{4}{7}x' + \frac{1}{7}$。

(3) $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって、$x' = -2x + y$ かつ $y' = 4x - 2y$。 $y' = -2(-2x+y)=-2x'$。 したがって、$y' = -2x'$。 このとき、$y' = 4x - 2y = 2(2x-y)=2(y+1)=4x-2y \Rightarrow y = 2x+1/2 \neq 2x-1$。つまり、この行列の変換は一次変換を表さない。

$y = 2x - 1$は、$x' = -2x+y$を満たし、$y'=4x-2y$を満たす必要があります。

なので、$y = x' + 2x$。 $y=2x-1=x'+2x \Rightarrow x' = -1$

$y' = 4x - 2y = 4x - 2(2x-1) = 4x - 4x + 2 = 2$.

変換後の点は $(-1, 2)$で、定数です。

(4) $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 3x$ かつ $y' = 4x + y$。これから、$x = \frac{x'}{3}$。これを $y' = 4x + y$ に代入して、$y' = \frac{4x'}{3} + y$。したがって、$y = y' - \frac{4x'}{3}$。

$y = 2x - 1$ に $x = \frac{x'}{3}$ と $y = y' - \frac{4x'}{3}$ を代入すると、$y' - \frac{4x'}{3} = 2(\frac{x'}{3}) - 1$。整理すると、$y' - \frac{4x'}{3} = \frac{2x'}{3} - 1$、つまり、$y' = \frac{6x'}{3} - 1 = 2x' - 1$。よって、$y' = 2x' - 1$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

(2) $y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}$

(3) 変換後の点は $(-1, 2)$

(4) $y = 2x - 1$