太郎さんは家から2000m離れた学校へ向かいました。10分後にお母さんが忘れ物に気づき、分速280mで自転車で追いかけました。太郎さんは忘れ物を受け取った後も同じ速さで歩き、出発から25分後に学校に着きました。グラフは、出発からx分後の2人の家からの距離y(m)の関係を表しています。 (1)太郎さんの歩く速さを求めます。 (2)お母さんが家を出発してから太郎さんに追いつくまでのyをxの式で表します。 (3)お母さんが家に到着するのは、太郎さんが家を出発してから何分後か求めます。

1. 問題の内容

太郎さんは家から2000m離れた学校へ向かいました。10分後にお母さんが忘れ物に気づき、分速280mで自転車で追いかけました。太郎さんは忘れ物を受け取った後も同じ速さで歩き、出発から25分後に学校に着きました。グラフは、出発からx分後の2人の家からの距離y(m)の関係を表しています。

(1)太郎さんの歩く速さを求めます。

(2)お母さんが家を出発してから太郎さんに追いつくまでのyをxの式で表します。

(3)お母さんが家に到着するのは、太郎さんが家を出発してから何分後か求めます。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんの歩く速さ

太郎さんは25分で2000m進むので、速さは

$2000/25 = 80$ (m/分)

(2) お母さんについて

お母さんは10分後に出発し、太郎さんに追いつくまで進みます。太郎さんが10分で進んだ距離は、

$80 \times 10 = 800$ (m)です。

お母さんが出発してからの時間をt分とすると、お母さんが進んだ距離は$280t$ (m)です。太郎さんはお母さんが出発してからも分速80mで進むので、お母さんが出発してからt分後の太郎さんの家からの距離は、$800+80t$ (m)です。

お母さんが太郎さんに追いつくとき、2人の家からの距離は等しいので、

$280t = 800 + 80t$

$200t = 800$

$t = 4$ (分)

したがって、お母さんは出発してから4分後に太郎さんに追いつきます。追いついた地点の家からの距離は、

$280 \times 4 = 1120$ (m)です。

お母さんが家を出発してから太郎さんに追いつくまでのyをxの式で表します。お母さんは太郎さんの出発から10分後に出発し、4分後に追いついたので、太郎さんの出発から14分後に追いつきます。

グラフの傾きは$\frac{1120-0}{14-10}= \frac{1120}{4} = 280$なので、お母さんのグラフは、傾き280、切片bで表せます。グラフは点(10,0)を通るので、$0=280\times10 + b$より、$b = -2800$

したがって、お母さんのグラフの式は、$y=280x-2800$

(3) お母さんが家に到着する時間

お母さんは、太郎さんに追いついた地点から家まで戻ります。追いついた地点は家から1120mの地点なので、家に戻るのにかかる時間は、

$1120/280 = 4$ (分)です。

お母さんは、太郎さんの出発から14分後に追いつき、そこから4分かけて家に戻るので、家に着くのは太郎さんの出発から$14+4=18$分後です。

3. 最終的な答え

(1) 80 m/分

(2) $y=280x-2800$

(3) 18 分後