複数の数学の問題があります。 12. ある仕事を2人で15日かけて行うとき、5人で行うと何日かかるか。 13. 容積240cm^3の水槽に毎分x cm^3の水をいれるとき、満水になるまでの時間yをxの式で表し、毎分40 cm^3で水を入れた場合の満水までの時間を求める。 14. xとyが反比例の関係にあるとき、xが2倍になるとyは何倍になるか。 15. $y = \frac{15}{x}$ のグラフ上で、xとyがともに整数となる点の個数を求める。 16. $y = -\frac{12}{x}$ のグラフ上で、xとyがともに整数となる点の個数を求める。

1. 問題の内容

複数の数学の問題があります。

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2. ある仕事を2人で15日かけて行うとき、5人で行うと何日かかるか。

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3. 容積240cm^3の水槽に毎分x cm^3の水をいれるとき、満水になるまでの時間yをxの式で表し、毎分40 cm^3で水を入れた場合の満水までの時間を求める。

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4. xとyが反比例の関係にあるとき、xが2倍になるとyは何倍になるか。

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5. $y = \frac{15}{x}$ のグラフ上で、xとyがともに整数となる点の個数を求める。

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6. $y = -\frac{12}{x}$ のグラフ上で、xとyがともに整数となる点の個数を求める。

2. 解き方の手順

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2. 仕事全体の量を計算します。2人 × 15日 = 30人日。

5人で割ると、30人日 ÷ 5人 = 6日。

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3. (ア) 水槽の容積は240cm^3で、毎分x cm^3の水を入れるので、満水になるまでの時間yは $y = \frac{240}{x}$ で表されます。

(イ) 毎分40cm^3の水を入れる場合、$x = 40$を$y = \frac{240}{x}$に代入すると、$y = \frac{240}{40} = 6$ 分となります。

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4. xとyが反比例の関係にあるとき、$y = \frac{k}{x}$ (kは定数)と表せます。xが2倍になると、$x'$ = 2xとなります。

このときのyの値$y'$は、$y' = \frac{k}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{x} = \frac{1}{2} y$。したがって、yの値は$\frac{1}{2}$倍になります。

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5. $y = \frac{15}{x}$ で、xとyがともに整数となるのは、xが15の約数であるときです。

15の約数は1, 3, 5, 15と、それらの負の数-1, -3, -5, -15です。

よって、(x, y) = (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1), (-1, -15), (-3, -5), (-5, -3), (-15, -1)の8個です。

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6. $y = -\frac{12}{x}$ で、xとyがともに整数となるのは、xが12の約数であるときです。

12の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12と、それらの負の数-1, -2, -3, -4, -6, -12です。

よって、(x, y) = (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), (-1, 12), (-2, 6), (-3, 4), (-4, 3), (-6, 2), (-12, 1)の12個です。

3. 最終的な答え

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2. 6日

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3. (ア) $y = \frac{240}{x}$ (イ) 6分

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4. $\frac{1}{2}$倍

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5. 8個

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6. 12個