実質金利 $r$ が与えられ、実質所得 $Y$ を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考える。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられたとき、（設備投資関数が外生的である場合の）45度線分析における財政支出乗数を分数で求める。

1. 問題の内容

実質金利 $r$ が与えられ、実質所得 $Y$ を得る消費者の2期間にわたる効用最大化を考える。効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ で与えられたとき、（設備投資関数が外生的である場合の）45度線分析における財政支出乗数を分数で求める。

2. 解き方の手順

45度線分析における財政支出乗数は、限界消費性向（MPC）を用いて計算できます。まず、2期間モデルの消費関数を導出する必要があります。

効用関数 $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7}c_2^{0.3}$ から、第1期の消費 $c_1$ と第2期の消費 $c_2$ の最適な配分を求めます。予算制約式は、所得 $Y$ と実質金利 $r$ を用いて、$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = Y + \frac{Y}{1+r}$ となります。

しかし、問題文から明示的な所得 $Y$ の値や金利 $r$ の情報がないため、一般的な乗数の公式を用いて計算します。効用関数がコブ・ダグラス型であるため、限界消費性向は効用関数のべき乗の係数で近似できます。第1期の消費 $c_1$ のべき乗は $0.7$ なので、第1期の限界消費性向 $MPC_1$ は $0.7$ となります。

45度線分析における乗数は、

$乗数 = \frac{1}{1 - MPC_1}$

で計算できます。

3. 最終的な答え

$MPC_1 = 0.7$ を乗数の式に代入すると、

$乗数 = \frac{1}{1 - 0.7} = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3}$

したがって、財政支出乗数は $\frac{10}{3}$ です。

最終的な答え：$\frac{10}{3}$