粘性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = mg - \gamma v$ が同次微分方程式か、非同次微分方程式かを答える問題です。

1. 問題の内容

粘性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = mg - \gamma v$ が同次微分方程式か、非同次微分方程式かを答える問題です。

2. 解き方の手順

微分方程式の同次性・非同次性を判定するには、まず方程式を一般形に変形します。与えられた式を以下のように変形します。

$m \frac{dv}{dt} + \gamma v = mg$

この微分方程式は、一般的に

$\frac{dv}{dt} + P(t) v = Q(t)$

という形に書けます。ここで、$P(t) = \frac{\gamma}{m}$ および $Q(t) = g$ です。

$Q(t) = 0$ であれば同次微分方程式、$Q(t) \neq 0$ であれば非同次微分方程式です。

今回の問題では、$Q(t) = g$ であり、重力加速度 $g$ はゼロではないので、$Q(t) \neq 0$ です。

3. 最終的な答え

非同次微分方程式