正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正六角形から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは6個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_6C_3$ で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 正六角形から4個の頂点を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは6個から4個を選ぶ組み合わせなので、$_6C_4$ で計算できます。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数は、正六角形の辺の数と対角線の数の合計に等しくなります。正六角形には6つの頂点があるので、2つの頂点を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ で計算できます。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(4) 対角線の本数を求めます。これは2個の頂点を結ぶ線分の本数から、正六角形の辺の数を引くことで求められます。

対角線の本数 = 全ての線分の本数 - 辺の数 = 15 - 6 = 9

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：20個

(2) 四角形の個数：15個

(3) 線分の本数：15本

(4) 対角線の本数：9本