8人を、(1) A, B, C, D の4つの組に2人ずつ分ける場合と、(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

8人を、(1) A, B, C, D の4つの組に2人ずつ分ける場合と、(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, D の4つの組に2人ずつ分ける場合：

* まず、8人からAの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは ${}_8 \mathrm{C}_2$ 通り。

* 次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは ${}_6 \mathrm{C}_2$ 通り。

* 次に、残りの4人からCの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは ${}_4 \mathrm{C}_2$ 通り。

* 最後に、残りの2人からDの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは ${}_2 \mathrm{C}_2$ 通り。

したがって、分け方の総数は、

${}_8 \mathrm{C}_2 \times {}_6 \mathrm{C}_2 \times {}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_2 \mathrm{C}_2$ で求められます。

計算すると、

${}_8 \mathrm{C}_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

${}_6 \mathrm{C}_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

${}_4 \mathrm{C}_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

${}_2 \mathrm{C}_2 = \frac{2!}{2!0!} = 1$

よって、 $28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$ 通り。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合：

(1) と同様に考えると、${}_8 \mathrm{C}_2 \times {}_6 \mathrm{C}_2 \times {}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_2 \mathrm{C}_2$ 通りですが、組に区別がないため、組の並び順を考慮する必要があります。4つの組の並び順は $4!$ 通りあるので、それを割る必要があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{{}_8 \mathrm{C}_2 \times {}_6 \mathrm{C}_2 \times {}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_2 \mathrm{C}_2}{4!}$ で求められます。

先ほどの計算から、${}_8 \mathrm{C}_2 \times {}_6 \mathrm{C}_2 \times {}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_2 \mathrm{C}_2 = 2520$ であるので、

$\frac{2520}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り