与えられた行列 $A$, $B$, $X$, $Y$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $AB$, $BA$, $ABAB$, $BABA$ を計算する。 (2) $^t\!B \, ^t\!A$ および $^t\!A \, ^t\!B$ を計算する。 (3) $AX = E$ および $YB = E$ を満たす $X$, $Y$ を求める。ただし、$E$ は単位行列である。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $X$, $Y$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $AB$, $BA$, $ABAB$, $BABA$ を計算する。

(2) ^t\!B \, ^t\!A および ^t\!A \, ^t\!B を計算する。

(3) $AX = E$ および $YB = E$ を満たす $X$, $Y$ を求める。ただし、$E$ は単位行列である。

2. 解き方の手順

(1) $AB$, $BA$, $ABAB$, $BABA$ の計算

まず、$AB$ と $BA$ を計算します。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

$$

$$

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}

$$

$$

BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}

$$

次に、$ABAB$ と $BABA$ を計算します。

$$

ABAB = AB \cdot AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 7 & 24 \end{pmatrix}

$$

$$

BABA = BA \cdot BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 5 & 5 \\ -11 & -6 & -13 \\ 24 & 11 & 22 \end{pmatrix}

$$

(2) ^t\!B \, ^t\!A および ^t\!A \, ^t\!B の計算

$A$ と $B$ の転置行列を求めます。

$$

^t\!A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad ^t\!B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}

$$

^t\!B \, ^t\!A と ^t\!A \, ^t\!B を計算します。

$$

^t\!B \, ^t\!A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

$$

$$

^t\!A \, ^t\!B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}

$$

(3) $AX = E$ および $YB = E$ を満たす $X$, $Y$ の計算

$AX = E$ と $YB = E$ を満たす $X$, $Y$ を求めます。$E$ は単位行列です。しかし、$A$ は正方行列ではないため、厳密な意味での逆行列は存在しません。ここでは、一般逆行列を求めることにします。同様に、$B$も正方行列ではないため、$YB=E$を満たすYも一意には定まりません。

まず、$AX=E$ を考えますが、$A$は2x3行列であり、$X$は3x2行列であるため、$E$は2x2の単位行列となります。$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}$とすると、$AX = E$は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

となります。これにより、

$a-e=1$, $b-f=0$, $2a+c+2e=0$, $2b+d+2f=1$

という連立方程式が得られます。

これを解くためには、自由度があるため一意の解は得られません。

次に、$YB = E$ を考えますが、$Y$は3x2行列であり、$B$は3x2行列であるため、積$YB$は定義されません。$Y = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \\ t & u \end{pmatrix}$とした場合、$YB$は定義できません。問題に誤りがある可能性があります。ここでは、$Y$を2x3の行列とし、$Y = \begin{pmatrix} p & q & 1 \\ r & s & 0 \end{pmatrix}$とします。この場合、$E$は2x2の単位行列となります。

$YB = \begin{pmatrix} p & q & 1 \\ r & s & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

より、

$p+q-1 = 1$, $p-q+2 = 0$, $r+s = 0$, $r-s = 1$

という連立方程式が得られます。これを解くと、

$p+q = 2$, $p-q = -2$より、$p=0$, $q=2$.

$r+s = 0$, $r-s = 1$より、$r=1/2$, $s=-1/2$.

したがって、$Y = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

$ABAB = \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 7 & 24 \end{pmatrix}$

$BABA = \begin{pmatrix} 11 & 5 & 5 \\ -11 & -6 & -13 \\ 24 & 11 & 22 \end{pmatrix}$

(2)

^t\!B \, ^t\!A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

^t\!A \, ^t\!B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}

(3)

$AX=E$を満たす$X$は不定。

$YB = E$ を満たす $Y$ は $Y = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \end{pmatrix}$