$a$, $b$, $c$ は自然数とする。$a + b + c = 6$ となる $a$, $b$, $c$ の組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ は自然数とする。$a + b + c = 6$ となる $a$, $b$, $c$ の組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

$a$, $b$, $c$ は自然数なので、$a \ge 1$, $b \ge 1$, $c \ge 1$ である。

$a' = a - 1$, $b' = b - 1$, $c' = c - 1$ とおくと、$a'$, $b'$, $c'$ は 0 以上の整数である。

$a = a' + 1$, $b = b' + 1$, $c = c' + 1$ を $a + b + c = 6$ に代入すると、

$(a' + 1) + (b' + 1) + (c' + 1) = 6$

$a' + b' + c' + 3 = 6$

$a' + b' + c' = 3$

$a'$, $b'$, $c'$ は 0 以上の整数なので、この式を満たす $a'$, $b'$, $c'$ の組み合わせの数を求める。

これは、3個の区別できないものを、3個の区別できる箱に入れる場合の数に等しい。

仕切りを2つ使うと考えると、3個の〇と2個の|を並べる順列の数に等しい。

例えば、〇〇|〇|| は $a' = 2$, $b' = 1$, $c' = 0$ を表す。

よって、求める組み合わせの数は、

$\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りである。

3. 最終的な答え

10通り