三角形 ABC があり、線分 BR と CP が辺 AB, BC をそれぞれ分ける点が R, P となっています。線分 RQ が AC と交わる点を Q とします。AR = 5, RB = 2, BC = 6, CP = 3 であるとき、QA : CQ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形 ABC があり、線分 BR と CP が辺 AB, BC をそれぞれ分ける点が R, P となっています。線分 RQ が AC と交わる点を Q とします。AR = 5, RB = 2, BC = 6, CP = 3 であるとき、QA : CQ を求めよ。

2. 解き方の手順

まずチェバの定理を使います。チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

が成り立ちます。

与えられた値を代入すると、

$\frac{5}{2} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

となります。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{6}{3} = \frac{30}{6} = 5$

なので、

$5 \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{5}$

したがって、

$\frac{QA}{CQ} = 5$

3. 最終的な答え

QA : CQ = 5 : 1