$x, y, z$ を実数とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めます。 (2) $x + y + z = 2$ のとき、$xy + yz + zx \le \frac{4}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x, y, z$ を実数とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めます。

(2) $x + y + z = 2$ のとき、$xy + yz + zx \le \frac{4}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ を示すために、左辺を2倍します。

$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx$

$= (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)$

$= (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$

$(x - y)^2 \ge 0$, $(y - z)^2 \ge 0$, $(z - x)^2 \ge 0$ より、

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \ge 0$

したがって、$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \ge 0$

よって、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$

等号が成り立つのは、$x - y = 0$, $y - z = 0$, $z - x = 0$ のとき、つまり $x = y = z$ のときです。

(2) $x + y + z = 2$ のとき、$xy + yz + zx \le \frac{4}{3}$ を示します。

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ より、

$xy + yz + zx = \frac{(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$

$x + y + z = 2$ なので、

$xy + yz + zx = \frac{4 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$

(1)より、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$

$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$

$x^2+y^2+z^2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{4}{3}$

$xy + yz + zx = \frac{4 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2} \le \frac{4 - \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{4}{3}$

したがって、$xy + yz + zx \le \frac{4}{3}$

等号が成り立つのは、$x = y = z$ のときです。

$x + y + z = 2$ より、$3x = 2$ なので、$x = \frac{2}{3}$

よって、$x = y = z = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ 。等号成立は $x = y = z$ のとき。

(2) $xy + yz + zx \le \frac{4}{3}$ 。等号成立は $x = y = z = \frac{2}{3}$ のとき。