三角形ABCにおいて、$a=3$, $c=2\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $c=2\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$のとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺bの長さを求めます。余弦定理は、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$で表されます。与えられた値を代入すると、

$b^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$b^2 = 9 + 12 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 21 - 12 \cdot \frac{3}{2}$

$b^2 = 21 - 18$

$b^2 = 3$

$b = \sqrt{3}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求めます。正弦定理は、$\frac{b}{\sin B} = 2R$で表されます。得られた値を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{3} = 2R$

$R = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$