三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=6$, $\angle B = 120^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=6$, $\angle B = 120^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて、$b$の長さを求める。

余弦定理は、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$で与えられる。

与えられた値を代入すると、

$b^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \times \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$なので、

$b^2 = 64 + 36 - 96 \times (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 100 + 48 = 148$

$b = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求める。

正弦定理は、$\frac{b}{\sin B} = 2R$で与えられる。

与えられた値を代入すると、

$\frac{2\sqrt{37}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{2\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{4\sqrt{37}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{37}\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{111}}{3}$

$R = \frac{2\sqrt{111}}{3}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は、$\frac{2\sqrt{111}}{3}$