三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=14, b=13, c=15$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=14, b=13, c=15$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ヘロンの公式を用いて三角形の面積Sを求める。

ヘロンの公式とは、$s = (a+b+c)/2$としたとき、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられる。

$s = (14+13+15)/2 = 42/2 = 21$

$S = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$

三角形の面積が分かったので、外接円の半径Rを求める。

$R = \frac{abc}{4S}$

$R = \frac{14 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 4 \cdot 21} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 15}{16 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 5}{16 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 5}{16} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は $\frac{65}{8}$