与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \cdots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \cdots + \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

2. 解き方の手順

この数列は部分分数分解を利用して解くことができます。一般項 $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}$

両辺に $(4k-1)(4k+3)$ を掛けると、

$1 = A(4k+3) + B(4k-1)$

$k = \frac{1}{4}$ とすると $1 = A(1+3) + B(1-1) = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$

$k = -\frac{3}{4}$ とすると $1 = A(-3+3) + B(-3-1) = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

この結果を用いて、$S$ を書き換えると、

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{15} \right) + \cdots + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$

これはtelescoping sumなので、多くの項が打ち消しあって、

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3 - 3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{3(4n+3)} \right)$

$S = \frac{n}{3(4n+3)}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{12n+9}$