問題は複素数の計算です。具体的には、 (1) $(1+2i)^3$ を計算する問題と、 (2) $\frac{3i}{1+i} - \frac{5}{1-2i}$ を計算する問題があります。

1. 問題の内容

問題は複素数の計算です。具体的には、

(1) $(1+2i)^3$ を計算する問題と、

(2) $\frac{3i}{1+i} - \frac{5}{1-2i}$ を計算する問題があります。

2. 解き方の手順

(1) $(1+2i)^3$の計算

二項定理を用いるか、展開を地道に行います。

$(1+2i)^3 = (1+2i)(1+2i)(1+2i)$

まず、 $(1+2i)^2$を計算します。

$(1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1+4i -4 = -3 + 4i$

次に、$(1+2i)^3$を計算します。

$(1+2i)^3 = (1+2i)(-3+4i) = -3+4i -6i + 8i^2 = -3-2i -8 = -11-2i$

(2) $\frac{3i}{1+i} - \frac{5}{1-2i}$の計算

各項を有理化してから計算します。

$\frac{3i}{1+i} = \frac{3i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3i - 3i^2}{1-i^2} = \frac{3i+3}{1-(-1)} = \frac{3+3i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i$

$\frac{5}{1-2i} = \frac{5(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{5(1+2i)}{1-4i^2} = \frac{5+10i}{1+4} = \frac{5+10i}{5} = 1+2i$

したがって、

$\frac{3i}{1+i} - \frac{5}{1-2i} = (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}i) - (1+2i) = \frac{3}{2} - 1 + (\frac{3}{2}-2)i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $(1+2i)^3 = -11 - 2i$

(2) $\frac{3i}{1+i} - \frac{5}{1-2i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$