与えられた複素数の式、(3) $\frac{3+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i}$ および (4) $(\frac{1+i}{1-i})^3$ をそれぞれ計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式、(3) $\frac{3+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i}$ および (4) $(\frac{1+i}{1-i})^3$ をそれぞれ計算せよ。

2. 解き方の手順

(3) $\frac{3+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i}$ の計算

まず、各複素数分数を計算する。

$\frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{6 + 5i - 1}{4 + 1} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1 - i}{2}$

したがって、

$\frac{3+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i} = (1 + i) + \frac{1 - i}{2} = \frac{2 + 2i + 1 - i}{2} = \frac{3 + i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$

(4) $(\frac{1+i}{1-i})^3$ の計算

まず、$\frac{1+i}{1-i}$ を計算する。

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$

したがって、$(\frac{1+i}{1-i})^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$

(4) $(\frac{1+i}{1-i})^3 = -i$