点 $(3, -3)$ と直線 $y = 4x + 2$ の距離 $d$ を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, -3)$ と直線 $y = 4x + 2$ の距離 $d$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

まず、与えられた直線の式 $y = 4x + 2$ を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形します。

$4x - y + 2 = 0$

したがって、$a = 4$, $b = -1$, $c = 2$ となります。

また、$x_0 = 3$, $y_0 = -3$ です。

これらの値を距離の公式に代入します。

$d = \frac{|4(3) + (-1)(-3) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 1}}$

$d = \frac{|17|}{\sqrt{17}}$

$d = \frac{17}{\sqrt{17}}$

$d = \frac{17\sqrt{17}}{17}$

$d = \sqrt{17}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{17}$