一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。 (1) $\angle BPC = \theta$ とおく。$PB$, $PC$, $\cos\theta$, $\triangle PBC$の面積Sを求める。 (2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、$OG$, 正四面体OABCの体積V, 四面体OPBCの体積$V'$, 頂点Oから平面PBCに下ろした垂線OHを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。

(1) $\angle BPC = \theta$ とおく。$PB$, $PC$, $\cos\theta$, $\triangle PBC$の面積Sを求める。

(2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、$OG$, 正四面体OABCの体積V, 四面体OPBCの体積$V'$, 頂点Oから平面PBCに下ろした垂線OHを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$PB = PC$である。

$\triangle OAB$において、余弦定理より

$PB^2 = OB^2 + OP^2 - 2OB \cdot OP \cos \frac{\pi}{3} = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 4 - 12 = 28$

よって、$PB = PC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$\triangle PBC$において、余弦定理より

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 PB \cdot PC \cos \theta$

$6^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cos \theta$

$36 = 28 + 28 - 56 \cos \theta$

$56 \cos \theta = 20$

$\cos \theta = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{196} = \frac{171}{196}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{171}{196}} = \frac{\sqrt{171}}{14} = \frac{\sqrt{9 \cdot 19}}{14} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

$\triangle PBC = \frac{1}{2} PB \cdot PC \sin \theta = \frac{1}{2} (2\sqrt{7})^2 \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 14 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}$

(2)

正四面体OABCにおいて、OGは正三角形ABCの重心と頂点Oを結ぶ線分である。

$AG = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 2\sqrt{3}$

$OG^2 + AG^2 = OA^2$

$OG^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$OG = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$V = \frac{1}{3} \triangle ABC \cdot OG = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

$V' = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} 18\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\triangle PBC \cdot OH = 3 V'$

$\frac{1}{3} (3\sqrt{19}) OH = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{19} OH = 6\sqrt{2}$

$OH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{38}}{19}$

3. 最終的な答え

(1) $PB = PC = 2\sqrt{7}$, $\cos\theta = \frac{5}{14}$, $S = 3\sqrt{19}$

(2) $OG = 2\sqrt{6}$, $V = 18\sqrt{2}$, $V' = 6\sqrt{2}$, $OH = \frac{6\sqrt{38}}{19}$