3点 A(1, 1, 3), B(2, 3, -2), C(-1, 1, -3) を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(1, 1, 3), B(2, 3, -2), C(-1, 1, -3) を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点を P(x, y, z) とします。ベクトル $\vec{AP}$, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ は同一平面上にあるので、これらのベクトルが線形独立であるための条件は、これらのベクトルで構成される行列式が 0 になることです。

まず、ベクトル $\vec{AP}$, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ を計算します。

$\vec{AP} = (x - 1, y - 1, z - 3)$

$\vec{AB} = (2 - 1, 3 - 1, -2 - 3) = (1, 2, -5)$

$\vec{AC} = (-1 - 1, 1 - 1, -3 - 3) = (-2, 0, -6)$

これらのベクトルで構成される行列式は次のようになります。

$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 3 \\ 1 & 2 & -5 \\ -2 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 0$

この行列式を展開します。

$(x - 1) \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} - (y - 1) \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + (z - 3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$(x - 1)(2(-6) - (-5)(0)) - (y - 1)(1(-6) - (-5)(-2)) + (z - 3)(1(0) - 2(-2)) = 0$

$(x - 1)(-12) - (y - 1)(-6 - 10) + (z - 3)(0 + 4) = 0$

$-12(x - 1) - (y - 1)(-16) + 4(z - 3) = 0$

$-12x + 12 + 16y - 16 + 4z - 12 = 0$

$-12x + 16y + 4z - 16 = 0$

全体を 4 で割ります。

$-3x + 4y + z - 4 = 0$

$3x - 4y - z + 4 = 0$

3. 最終的な答え

3点 A(1, 1, 3), B(2, 3, -2), C(-1, 1, -3) を通る平面の方程式は $3x - 4y - z + 4 = 0$ です。