与えられた数学の問題は、以下の8問です。 1. 1024ビット（2進数1024桁）は、10進数では何桁か？

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の8問です。

1. 1024ビット（2進数1024桁）は、10進数では何桁か？

2. 2の32乗は、10進数では何桁か？

3. 65の10乗を8で割った余りは？

4. 2の60乗を7で割った余りは？

5. 13の100乗の1の位は？

6. 直角三角形の短辺が12と16のとき、斜辺の長さは？

7. 直角三角形の短辺が7と24のとき、斜辺の長さは？

8. 直角三角形の斜辺が7、短辺が6のとき、残りの辺の長さは？

2. 解き方の手順

1. **1024ビットの桁数**：

- 2進数の桁数 $n$ を10進数に変換するには、$n \times \log_{10}{2}$ を計算します。

- $1024 \times \log_{10}{2} \approx 1024 \times 0.3010 \approx 308.224$

- したがって、10進数では309桁となります。

2. **2の32乗の桁数**：

- 2の32乗は、$2^{32} = (2^{10})^3 \times 2^2 \approx (10^3)^3 \times 4 = 4 \times 10^9$

- より正確には、$32 \times \log_{10}{2} \approx 32 \times 0.3010 = 9.632$

- したがって、10進数では10桁となります。

3. **65の10乗を8で割った余り**：

- $65 \equiv 1 \pmod{8}$

- $65^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{8}$

- 余りは1です。

4. **2の60乗を7で割った余り**：

- $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

- $2^{60} = (2^3)^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \pmod{7}$

- 余りは1です。

5. **13の100乗の1の位**：

- 13の1の位は3です。3の累乗の1の位は、$3, 9, 7, 1$ を繰り返します。

- $100 \div 4 = 25$ で割り切れるので、1の位は1です。

6. **斜辺の長さ（短辺12と16）**：

- ピタゴラスの定理より、$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

- $c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

7. **斜辺の長さ（短辺7と24）**：

- ピタゴラスの定理より、$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

- $c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$

8. **残りの辺の長さ（斜辺7、短辺6）**：

- ピタゴラスの定理より、$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

- $a = \sqrt{7^2 - 6^2} = \sqrt{49 - 36} = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

1. 309桁

2. 10桁

3. 1

4. 1

5. 1

6. 20

7. 25

8. ルート(13)