1, 2, 3, 4, 5の数字の中から異なる数字を使って4桁の整数を作る。 (1) 偶数は何個作れるか。 (2) 2400より大きい整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5の数字の中から異なる数字を使って4桁の整数を作る。

(1) 偶数は何個作れるか。

(2) 2400より大きい整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合

4桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。使える偶数は2と4の2つである。

(i) 一の位が2の場合:

千の位は2以外の4つの数字から選べる。

百の位は千の位と2以外の3つの数字から選べる。

十の位は千の位、百の位、2以外の2つの数字から選べる。

したがって、4 x 3 x 2 = 24個の整数が作れる。

(ii) 一の位が4の場合:

千の位は4以外の4つの数字から選べる。

百の位は千の位と4以外の3つの数字から選べる。

十の位は千の位、百の位、4以外の2つの数字から選べる。

したがって、4 x 3 x 2 = 24個の整数が作れる。

よって、偶数の個数は24 + 24 = 48個である。

(2) 2400より大きい整数の場合

(i) 千の位が2の場合：

2400より大きくなるためには、百の位が4または5でなければならない。

(a) 百の位が4の場合、十の位は0,1,3,5のうちいずれかを選ぶ必要があるが、今回は0,1は使えないので、3,5のうちいずれかを選ぶ必要がある。一の位は残りの1つを選ぶ。よって$1 \times 2 \times 1 = 2$通り。

(b) 百の位が5の場合、十の位と一の位は残りの数字から自由に選ぶことができるので、$1 \times 2 \times 1 = 2$通り。

よって、$2 + 2 = 4$通り。

(ii) 千の位が3,4,5の場合：

千の位は3通り、百の位は残りの4通り、十の位は残りの3通り、一の位は残りの2通り。

したがって、3 x 4 x 3 x 2 = 72個の整数が作れる。

よって、2400より大きい整数の個数は4 + 72 = 76個である。

3. 最終的な答え

(1) 偶数：48個

(2) 2400より大きい整数：76個