問題は、与えられた数字の中からいくつかの数字を選んで整数を作る際に、いくつかの条件を満たすものが何個できるかを求める問題です。具体的には、3桁、4桁、5桁の整数を作る問題があり、偶数である、特定の数より大きい、5の倍数であるという条件が課されています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数字の中からいくつかの数字を選んで整数を作る際に、いくつかの条件を満たすものが何個できるかを求める問題です。具体的には、3桁、4桁、5桁の整数を作る問題があり、偶数である、特定の数より大きい、5の倍数であるという条件が課されています。

2. 解き方の手順

(3) 1, 2, 3, 4, 5 の中から異なる数字を使って4桁の整数を作る問題。

① 偶数：一の位が偶数である必要がある。一の位は2または4のいずれかなので、2通り。残りの3桁は、残りの4つの数字から選ぶ。千の位は4通り、百の位は3通り、十の位は2通り。よって、$2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$通り。

② 2400より大きい整数：千の位が2の場合、百の位は4または5でなければならない。

千の位が2、百の位が4の場合、十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、一の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 1 \times 3 \times 2 = 6$通り。

千の位が2、百の位が5の場合、十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、一の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 1 \times 3 \times 2 = 6$通り。

千の位が3, 4, 5の場合、残りの3桁は自由に選べる。千の位は3通り、百の位は4通り、十の位は3通り、一の位は2通り。$3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$通り。

合計 $6 + 6 + 72 = 84$通り。

(4) 0, 1, 2, 3, 4 の中から異なる数字を使って3桁の整数を作る問題。

① 3桁の整数：百の位は0以外の4通り。十の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。一の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。よって、$4 \times 4 \times 3 = 48$通り。

② 偶数：一の位が偶数である必要がある。

一の位が0の場合、百の位は0以外の4通り、十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。$1 \times 4 \times 3 = 12$通り。

一の位が2または4の場合、2通り。百の位は0ではなく、一の位で使った数字でもないので3通り。十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。$2 \times 3 \times 3 = 18$通り。

合計 $12 + 18 = 30$通り。

(5) 0, 1, 2, 3, 4 の中から異なる数字を使って4桁の整数を作る問題。

① 4桁の整数：千の位は0以外の4通り。百の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。一の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。よって、$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$通り。

② 偶数：一の位が偶数である必要がある。

一の位が0の場合、千の位は0以外の4通り、百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

一の位が2または4の場合、2通り。千の位は0ではなく、一の位で使った数字でもないので3通り。百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$通り。

合計 $24 + 36 = 60$通り。

③ 5の倍数：一の位が0または5である必要がある。今回は0, 1, 2, 3, 4から選ぶので一の位は0のみ。

一の位が0の場合、千の位は0以外の4通り、百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

(6) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の中から異なる数字を使って5桁の整数を作る問題。

① 5桁の整数：万の位は0以外の5通り。千の位は残りの5つの数字から選ぶので5通り。百の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。一の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。よって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 600$通り。

② 偶数：一の位が偶数である必要がある。

一の位が0の場合、万の位は0以外の5通り、千の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り、百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通り。

一の位が2または4の場合、2通り。万の位は0ではなく、一の位で使った数字でもないので4通り。千の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$2 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 192$通り。

合計 $120 + 192 = 312$通り。

③ 5の倍数：一の位が0または5である必要がある。

一の位が0の場合、万の位は0以外の5通り、千の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り、百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り、十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通り。

一の位が5の場合、万の位は0ではなく、5でもないので4通り。千の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り。百の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。十の位は残りの2つの数字から選ぶので2通り。$1 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$通り。

合計 $120 + 96 = 216$通り。

3. 最終的な答え

(3) ① 48個、② 84個

(4) ① 48個、② 30個

(5) ① 96個、② 60個、③ 24個

(6) ① 600個、② 312個、③ 216個