全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 5\}$, $B = \{2, 4\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ が与えられている。このとき、$A \cup C$ および $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を求める。$A \cup C$ の答えは画像に 5 と記載されている。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 5\}$, $B = \{2, 4\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ が与えられている。このとき、$A \cup C$ および $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を求める。$A \cup C$ の答えは画像に 5 と記載されている。

2. 解き方の手順

(1) $A \cup C$ を求める。$A \cup C$ は $A$ と $C$ の和集合であり、$A$ と $C$ の要素をすべて含み、重複する要素は一度だけ含む集合である。

$A = \{1, 2, 5\}$

$C = \{1, 3, 5\}$

$A \cup C = \{1, 2, 3, 5\}$

(2) $\overline{A}$ を求める。$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合である。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$A = \{1, 2, 5\}$

$\overline{A} = U - A = \{3, 4\}$

(3) $\overline{B}$ を求める。$\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合である。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$B = \{2, 4\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 3, 5\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。$\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分であり、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} = \{3, 4\}$

$\overline{B} = \{1, 3, 5\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を求める。$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ は $\overline{A} \cap \overline{B}$ と $C$ の共通部分であり、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $C$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$

$C = \{1, 3, 5\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C = \{3\}$

3. 最終的な答え

$A \cup C = \{1, 2, 3, 5\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C = \{3\}$