$x > 1$のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 1$のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ と置きます。すると、$x = t+1$ となり、与えられた式は

$t+1 + \frac{2}{t}$

と書き換えられます。ここで、$x > 1$ より $t > 0$ であることに注意します。

$t+1 + \frac{2}{t} = t + \frac{2}{t} + 1$

ここで、相加相乗平均の関係を利用します。$t > 0$ なので、$t$ と $\frac{2}{t}$ はともに正であり、

$t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$t + \frac{2}{t} + 1 \geq 2\sqrt{2} + 1$

等号成立は、$t = \frac{2}{t}$ のとき、つまり $t^2 = 2$ のとき。$t > 0$ より、$t = \sqrt{2}$ です。

このとき、$x = t+1 = \sqrt{2} + 1$ であり、$x > 1$ を満たします。

よって、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値は $2\sqrt{2} + 1$ です。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 1$