与えられた式 $2S = (\sum_{k=1}^{n} k)^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2$ を簡略化し、$S$ を求める問題です。与えられた式は、$2S = [\frac{1}{2}n(n+1)]^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ と表されています。

1. 問題の内容

与えられた式 $2S = (\sum_{k=1}^{n} k)^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2$ を簡略化し、$S$ を求める問題です。与えられた式は、$2S = [\frac{1}{2}n(n+1)]^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ と表されています。

2. 解き方の手順

まず、$2S$ の式を整理します。

$2S = \left[\frac{1}{2}n(n+1)\right]^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$2S = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$n(n+1)$ を共通因数としてくくりだします。

$2S = n(n+1)\left[\frac{1}{4}n(n+1) - \frac{1}{6}(2n+1)\right]$

括弧の中を計算するために、分母を12で通分します。

$2S = n(n+1)\left[\frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12}\right]$

$2S = n(n+1)\left[\frac{3n^2 + 3n - 4n - 2}{12}\right]$

$2S = n(n+1)\left[\frac{3n^2 - n - 2}{12}\right]$

分子の二次式を因数分解します。

$3n^2 - n - 2 = (n-1)(3n+2)$

したがって、

$2S = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$

$S$ を求めるために、両辺を2で割ります。

$S = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$