与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $3 + \sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

分子を計算します：

$2\sqrt{2}(3+\sqrt{5}) = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}$

分母を計算します：

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

したがって、

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}}{4}$

この分数を簡略化するには、分子と分母を2で割ります：

$\frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$