三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rがあるとき、OとIが一致しない場合のR、rとOIの関係を調べる問題です。空欄のアからクに当てはまる選択肢を選びます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rがあるとき、OとIが一致しない場合のR、rとOIの関係を調べる問題です。空欄のアからクに当てはまる選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

まず、アの空欄を埋めます。

$\angle HAI = \angle BAI$

次に、イの空欄を埋めます。

$\triangle AHI \sim \triangle EBD$ より、対応する辺の比は等しいので、

$ED:AI = BD:IH$ となります。問題文より、$ED:AI = イ :HI$ なので、$イ = BD$ となります。

次に、AI:BD = ウ:Rを埋めます。

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$ なので、$\angle ABI = \angle CBI$, $\angle BAI = \angle CAD = \angle CBD$ より、

$\angle ABI = \angle CBI = \angle BAI$ なので、$\triangle ABI$ は二等辺三角形であり、$AI = BI$

$\triangle OBD$ について、$OB=OD=R$で、$I$は$\triangle ABC$の内心なので、$BI=DI$

したがって、$AI=BI=DI$

$BD = 2R \sin(\angle BAD) = 2R \sin(\angle BAI + \angle IAD)$

$AI:BD=AI:2R=r:R$より、$AI = \frac{2r}{R} *R$

$\angle HAI = \angle BED$, $\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$ なので、$\triangle AHI \sim \triangle EBD$

したがって、$AI:ED = IH:BD$

次に、エの空欄を埋めます。

$\angle ABI = \angle CBI$ であり、 $\angle CAD = \angle CBD$ なので、エ = $\angle ABI = \angle CBD$

次に、オの空欄を埋めます。

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$, $\angle DBI = \angle DBC + \angle CBI$

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI = \angle CAD + \angle CBI$

$\angle DIB = \angle CAD + \angle ABI$ と $\angle CAD = \angle CBD = \angle CBI$ より $\angle DIB = \angle ABI$

次に、カの空欄を埋めます。

$\triangle DBI$ は二等辺三角形なので、$BD=DI$

次に、キの空欄を埋めます。

方べきの定理より、$AI \cdot AI = (FO-OI)(GO+OI) = (FO+OI)(GO-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2-OI^2$ なので、

$AI \cdot BD = (FO + OI)(GO - OI)$ より、$AI \cdot BD = (R+OI)(R-OI)$ なので、$AI \cdot DI = (FO+OI)(GO-OI)$ より、カ = BD, キ=OI

最後に、クの空欄を埋めます。

①, ②, ③から $OI^2 = R^2 - 2Rr$ が成り立つ。(オイラーの定理)

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ②

ウ: 2

エ: ①

オ: ①

カ: ②

キ: ⑤

ク: ③